Questions aux experts

Soient:
La masse du sac, m,
la masse volumique de l'air, (à température ambiante),p,
le volume initial de l'air dans le sac, v,
le volume final de l'air dans le sac, V,
l'accélération de la pesanteur, g.

Initialement,
- force vers le bas ("poids") égale (m + v*p)*g
- force vers le haut (poussée d'Archimède) égale v*p*g.
Donc, la force nette vers le bas est simplement m*g, comme attendu (ici, on néglige la poussée d'Archimède agissant directement sur la matière du sac, qui sera très faible, et risque de compliquer le calcul inutilement).
Après chauffage, force vers le bas ("poids") est égale (m + v*p)*g
alors que la force vers le haut (poussée d'Archimède) est égale V*p*g.
Donc, la force nette vers le bas est (m + v*p -V*p)*g.
Si (V-v)*p > m, le "ballon" monte, et si (V-v)*p < m, il ne décolle pas.
Je ne puis qu'estimer les chiffres, mais si:
m = 10 g; v = 0,5 l; V = 5 l (10*v, comme la question le suggère);
et avec p = (à peu près) 1,2 g/l;
L'on trouve: (V-v)*p = 5,4 g, ce qui inférieur à 10 g , donc le ballon
ne décolle pas.
A l'enseignant de mettre les vraies chiffres pour m,v et V!
Bonne chance, et utilisez un sac plus léger!

Votre défi me rappelle un jeu qui se vendait sur les plages du Var, il y a au moins une dizaine d'années. Il était seulement constitué d'un gros sac cylindrique (environ 4 m de long et 1 m de diamètre) en matière plastique, très fine et noire. On laissait ce sac, fermé (avec une ficelle assez longue !) au soleil et au bout d'une heure, il décollait (d'où la ficelle...).
J'en viens à l'expérience décrite. Le défi prend ici la forme d'une compétition entre le poids du sac contenant l'air chaud (force dirigée vers le bas) et le poids du volume d'air déplacé (force dirigée vers le haut : c'est la "poussée" d'Archimède). Le sac décolle quand la poussée d'Archimède l'emporte sur le poids du sac+air chaud.
Pour simplifier, on peut raisonner sur les masses, sachant qu'il suffit de multiplier par une constante, la même dans les deux cas, pour obtenir les poids. Pour que le sac décolle, la masse du volume d'air froid (air déplacé) doit être plus grande que la somme (masse du sac + masse du volume d'air chaud). En principe, le problème est soluble car la masse d'un litre d'air chaud est inférieure à celle d'un litre d'air froid, mais... pas de beaucoup !
Alors, on a plusieurs solutions :
- diminuer la masse (sac + air chaud), c'est-à-dire beaucoup chauffer (ce peut être dangereux) pour diminuer la masse d'un litre d'air chaud, ou avoir un sac extrêmement fin donc extrêmement léger ;
- augmenter le "volume déplacé" et la poussée d'Archimède en augmentant le volume du sac.
On peut remarquer que le jeu cité au début joue sur ces trois paramètres.
Je vous donne la masse (approchée) d'un litre d'air à quelques températures et à pression atmosphérique normale. Pour un volume et des températures donnés, vous pouvez savoir quelle doit être la masse maximale du sac...
t = 0 °C m = 1,29 g
t = 10 °C m = 1,25 g
t = 20 °C m = 1,20 g
t = 30 °C m = 1,16 g
t = 50 °C m = 1,10 g
Pour votre expérience (en supposant l'air à 20 °C et l'air chaud à 50 °C), la masse du sac (volume 10 l) ne devrait pas excéder :
(10 x 1,20) - (10 x 1,10) = 1 g
ce qui n'est pas beaucoup...
Bonne chance.