La mesure, entre mathématiques et sciences

Document pour la formation des enseignants

Modalités  de l’activité de formation

Alternance de travaux individuels, travaux de groupes et échange collectif

• Mise en situation : le pendule qui oscille (la situation déclenchante sera l’observation d’une horloge à balancier)
• Analyse de vidéo de séance de classe : « la bougie » cycle 3

Introduction du  sujet  10 à 15’

Commencer par une discussion sur les points suivants :

• situer le mot « mesure » dans le champ sémantique (noms, verbes, adjectifs, expressions…), comme les verbes : situer, repérer, évaluer, mesurer, graduer, peser, chronométrer, compter , les adjectifs : lourd, léger, long , profond, petit, grand, court, large, étroit
• relier les mots aux activités de mesure (du temps, de la vitesse, de longueur, de masse, de volume…),
• relier les activités de mesure aux instruments de mesure (cadran solaire, métronome, minuteur, chronomètre pour le temps ; mètre, compteur kilométrique, toise pour les longueurs ; balances pour les masses…
• pourquoi mesure t-on ? Il y a toujours un but : observer, expérimenter, contrôler, discuter, commercer…la mesure n’existe pas pour elle-même, elle est  liée à un projet
• comment mesurer ? en fonction de ce que l’on veut mesurer, l’on choisit un instrument de mesure (plus ou moins précis) et donc une même unité de mesure (qui peut être un cm, un mètre mais si on n’a pas d’instrument qui peut-être aussi un crayon, un morceau de ficelle, un enfant…) 

Partie I

Mise en situation : le pendule qui oscille

Situation de départ 10’
un objet est apporté : une horloge ancienne à balancier
observation : on  amène les stagiaires à constater que le  mouvement régulier  de va et vient du pendule correspond à une durée précise  ;  ce réglage du mécanisme de l’horloge  donne l’heure exacte.

Question :
Comment peut-on déterminer la durée d’un aller-retour ? (nécessité de mesurer)
A cette occasion, si le mot « période » n’est pas évoqué on peut l’introduire , en faisant préciser son sens : une période correspond à la durée d’un aller retour de la masse, plus ou moins long ; dans le cas du pendule, c’est la durée d’une oscillation complète ( la demi-période du pendule étant un « battement »).

Un pendule simple est  alors montré, on le fait osciller et on voudrait déterminer la durée d’un aller-retour 
- Si les stagiaires suggèrent de chronométrer un aller-retour, le faire (utilisation de chronomètres, de montres à chronomètres)
- Les résultats sont ils tous identiques ? (non : les stagiaires discutent de leurs résultats et du choix à faire ,  par exemple proposer l’idée de mesurer 10 AR au lieu d’un ; chaque stagiaire prend cette nouvelle mesure (toutes  les mesures sont notées)
- Les résultats sont-ils cette fois tous identiques (non), sont-ils faux ? (discussion : non, ils sont expérimentaux càd comportent une incertitude (ou approximation) de part la nature   de l’instrument lui même plus ou moins précis , notre manière de l’utiliser plus ou moins habile , ou les conditions de la mesure (quand commencer et comment repérer le départ, quand s’arrêter et comment repérer la fin…cf course ski et autre)
 - Quel résultat choisir ? (pour minimiser les erreurs, idée de calculer une valeur moyenne à partir d’un plus grand nombre de résultats (faire plusieurs fois la mesure) d’où l’intérêt du calcul de la moyenne en mathématiques)
- calcul de la valeur moyenne du groupe , pour 10AR donnés

Problème : Comment  faire pour obtenir un pendule plus rapide ou plus lent ? (cad pour modifier la durée de la mesure d’un aller retour)            1H30

Du matériel est disposé dans un espace réservé de la salle de formation ; ficelle de différente grosseur, morceaux de ficelle d’une longueur de 1 m, bobine de ficelle à couper, mètres, ciseaux, rondelles de 20gr, tubes carton ou plastique….

Modalité de l’investigation : démarche expérimentale

prévisions individuelles (noter les facteurs auxquels on pense)
mise en commun collective avec les justifications des « hypothèses ». débat sur les arguments (par exp, plus on lance fort plus ça va aller vite, plus la masse est lourde plus ça retient ou entraîne…)
expérimentation par groupes (c’est à ce moment que les stagiaires se mettent en groupes de trois ou quatre : chaque groupe prend en charge la réalisation d’une expérience,  fonction de l’hypothèse qu’il a choisi, puis note ses résultats, valide ou non l’hypothèse, en teste une autre… ) Donner la consigne suivante : le responsable de matériel de chaque groupe ira chercher le matériel dont son groupe fera la demande .
mise en commun (chaque porte-parole présente les modalités et résultats de l’expérience)
et conclusion :

Par rapport aux facteurs de

• la masse,
• l’amplitude (= lâcher en fonction d’un certain angle),
• l’impulsion (ou force)
• la grosseur ou
• la longueur de la ficelle,

seule la longueur de la ficelle a une incidence significative sur la durée de la période (le longueur, c’est à dire  la distance entre le point d’attache et le centre de gravité du pendule).

Discussion sur les difficultés rencontrées, par exemple en termes de

• précision des mesures : nécessité de faire suffisamment de mesures pour conclure car le chronomètre ne réagit pas parfois à la première impulsion et le temps de réaction du chronométreur peut lui aussi varier , il faut donc recommencer…(d’où le sens de faire une moyenne) 
• méthodologie et rigueur scientifique : nécessité de ne faire varier qu’un paramètre à la fois en gardant tous les autres paramètres constants, interpréter avec précaution
• coopération :s’accorder dans le groupe sur qui fait quoi et comment ne va pas toujours de soi

A noter qu’il faut être vigilant sur la mesure du paramètre «   longueur » (dans le cas par exp où l’on veut tester la masse et où les deux pendules doivent avoir la même longueur), il suffit en effet d’un quart de centimètre de différence entre les deux pendules pour qu’ils ne battent plus de façon synchrone.

 Evaluation de la mise en situation   10’

Qu’a t-on  appris à l’occasion de cette mise en situation du pendule (au niveau des adultes qui l’ont vécue) ?
* en termes de connaissances :
sciences:
- la période de petites oscillations d’un pendule ne dépend ni de leur amplitude ni de la masse mais seulement de la longueur (Gallilée 1583) * voir note page 6
-  l’instrument de mesure est plus ou moins élaboré et fiable, ce qui implique que l’ on fait à chaque fois une erreur plus ou moins grande de mesure.(approximation)
mathématiques :
-  notion de valeur moyenne

* en termes de compétences : on peut faire identifier aux stagiaires les différentes phases  qu’ils ont vécue dans l’investigation,  depuis le questionnement, l’hypothèse ou la prévision individuelle puis collective (débat), l’expérimentation proprement dite, l’ interprétation des résultats au regard de l’hypothèse puis  la communication et discussion autour de ces résultats  , jusqu’à  à la construction  de savoir nouveau qu’il sera nécessaire de valider ; on peut  identifier avec eux  les compétences qui ont été travaillées : questionner, justifier, rendre compte (oralement, par écrit), critiquer, argumenter, interpréter…
- en l’occurrence, en sciences et en mathématiques les compétences travaillées sont:
 réaliser des mesures, calculer des valeurs moyennes, pratiquer une démarche expérimentale dans le cadre de l’investigation, présenter les résultats obtenus à l’aide d’une affiche rédigée ou d’un tableau , graphique ;  faire référence au palier 2 CM2/ « pratiquer une démarche scientifique ou technologique »

Réinvestissement (éventuel) on peut montrer à ce moment un métronome qui est un pendule composé de deux masses.
En déplaçant la masselotte supérieure le long de l'axe, on fait varier r la position du centre de gravité et l'inertie de ce pendule  ce qui modifie sa période d'oscillation )

Enchaînement de la partie I à la partie II         5’

- Quelle exploitation donner à ce sujet d’étude sur la mesure ? Dans quel cadre de la classe (programme, projet…) peut on être amené à travailler les mesures, sur un plan scientifique et/ou mathématiques ?

 Exemple : évaluer et comparer des grandeurs,  (exemple : tailles des élèves sur un graphique, diagramme (fréquence)), calculer ou situer un ordre de grandeur ,une proportion  , faire une moyenne, un pourcentage..…

Partie II

Analyse de séance

Vidéo « la bougie » CM2

Présentation rapide du sujet et contexte de la vidéo (cf livret)  5’ : à partir d’une situation qui illustre le sujet d’étude de « la mesure » :
La classe a observé un phénomène scientifique : une bougie allumée s’éteint en quelques instants quand on pose sur elle un récipient à l’envers (type saladier). L’objectif  du travail conduit est d’observer s’il y a un lien entre la mesure de cette durée et la contenance du récipient utilisé.

Questions pour guider la lecture de la vidéo   5’ (noter sur une affiche)

•  « Comment le maître exploite t-il ce thème de la  mesure avec ses élèves, en science et en mathématiques? »
• « Quels sont d’après vous les points intéressants de cette séance  et/ou ceux qui posent problème , et pourquoi? »

Visionnement     20’
suivi d’un temps de réappropriation  individuelle (5’)
les deux questions sont notées sur une affiche

Echanges collectifs   (ou échanges en petits groupes précédant l’échange collectif)  15 à 20’
- commencer par les points que les stagiaires estiment réussis (justifier en quoi) (par exemple les stagiaires peuvent   évoquer :

• • l’organisation des modalités de travail,
  • le guidage du maître, ses  suggestions, encouragements
  •  l’implication des élèves
  •  le travail occasionné sur la langue (reformulation),
  •  les habitudes de travail des élèves,
  • les acquis des élèves remobilisés dans de nouvelles tâches…

- évoquer  les phases de l’investigation dans son ensemble (dont celle de l ‘expérimentation qui est une modalité de recherche) puis
- se centrer sur le sujet de la mesure et en particulier sur les problèmes ou les questions que soulèvent les stagiaires :

Par exemple

• • l’utilisation des mots  « questions », « hypothèse » au début
  • la difficulté pour certains élèves à réaliser un graphique,
  • l’aspect des conditions de l’expérimentation (la marge d’erreur est augmentée au lieu d’être diminuée avec un élève qui dit stop au début, un à la fin, un qui appuie sur le chronomètre…) ; les difficultés à expérimenter (dont le fait qu’il y a   diversité des mesures) ne sont pas discutées, le maître « tranche » aléatoirement sur une mesure
  • celui du recueil des mesures et de leur lecture (tableau), apparemment peu exploitée en classe : la multiplication 8x4=32 ne correspond pas aux mesures expérimentales notées (entre 34 et 44) qu’en faire, qu’en dire ?),
  • le lien implicite entre « faire des sciences » et « faire des maths » (comment l’expliciter pour les élèves ? quel est le sens de « faire des maths » ou « faire des sciences » pour certains élèves ?),
  • la construction du graphique et de la proportionnalité (implicite)
  •  l’absence apparente de  clôture de séance (qu’est-ce que les élèves ont appris et comment) etc…
  • la présence d’élèves très à l’aise (est-ce le cas de tous ?)

Si possible, 

• amener les stagiaires à mettre en parallèle leurs commentaires  sur la vidéo avec  la réflexion qu’ils ont vécue  juste après  la mise en situation du pendule de cette activité de formation (au début leur a été demandé :que fait on et pourquoi ? (sens), à la fin :qu’a t-on appris (quoi)et comment (DI)..) cf  l’aspect de la structuration très important dans un enseignement des sciences fondé sur la démarche d’investigation.
• Amener les stagiaires à s’interroger sur le ou les objectifs que visaient le maître (que voulait-il que les enfants apprennent ?), ce dont on ne peut être sûr en regardant la vidéo (on ne peut que supposer que…et constater les effets que la vidéo nous montre, et seulement ceux là)

Synthèse 
 Récapituler (sur affiche) les propositions de réponses  aux  deux questions et l’essentiel des remarques et questions suscitées par la vidéo

Bilan de  l’activité de formation  5 à 10’

- Revenir sur les objectifs visés (les faire  retrouver aux stagiaires) et les apprécier avec eux.
- Noter les remarques et questions éventuelles (besoins, attentes, perspectives..)
- proposer et présenter quelques documents ressources (histoire des sciences) à l’attention des enseignants, discuter éventuellement de l’intérêt d’utiliser des documents historiques en classe.

Annexe

Quelques définitions :
- Pendule pesant : constitué par tout corps susceptible d’osciller autour d’un axe (le plus souvent horizontal) sous l’action de la pesanteur.
- Oscillation : de part et d’autre d’une position d’équilibre stable
- Pendule simple : constitué par un point matériel pesant assujetti à osciller à une distance constante d’un axe horizontal fixe ; cette distance est appelée longueur du pendule simple.
- Elongation angulaire : angle que fait le pendule avec sa position d’équilibre
- Amplitude : valeur maximale de l’angle
- Période : durée d’une oscillation complète, se repère par le passage à la position d’équilibre dans le même sens
- Loi des longueurs : la période d’un pendule est proportionnelle à la racine carrée de sa longueur.
Si g(accélération de la pesanteur) est 9,81 m/s2 on aura :
Longueur  25cm 36cm 49cm 64cm 81cm 100cm
Période      1s      1,2s    1,4s   1,6s   1,8s    2s

Citation de Galilée,  Discours concernant deux sciences nouvelles, PUF, 1638 , p140
« (…) Quant aux temps d’oscillation de mobiles suspendus à des fils de différentes longueurs, ils ont entre eux même proportion que les racines carrées des longueurs de ces fils, ce qui revient à dire que les longueurs sont entre elles comme les carrés des temps ; si bien que pour obtenir un pendule dont le temps d’oscillation soit double de celui d’un autre pendule, il convient de donner au premier une longueur quadruple de celle du second ; de la même manière si un pendule a une longueur neuf fois supérieure à celle d’un autre pendule, celui-ci effectuera trois oscillations pendant que celui-là en accomplira une seule ; d’où il résulte que les longueurs des cordes sont inversement proportionnelles aux carrés du nombre des oscillations accomplies dans un même temps .(…) »
le carré de la période est proportionnel à la longueur : si l’on multiplie la longueur  par 4 on multiplie la  période par 2

Le mot du formateur

La mise en situation proposée avec le pendule a permis  aux enseignants de se confronter à une situation d’enseignement fondée sur la démarche d ‘investigation ; ils en ont saisi tout le sens car elle leur a permis de construire de nouvelles connaissances, chemin faisant, ainsi que montré  les difficultés liées aux conditions mêmes de l’expérimentation qu’ils ont mise en œuvre, comme l’indiquent ces témoignages : « Après la manip vécue avec le pendule j’ai vu que la démarche d’investigation, c’était possible …je la connaissais  comme ça, en théorie …mais c’est pas pareil ! Et dans le film sur la bougie j’ai bien vu que la démarche d‘investigation était l’occasion de travailler en maths également ! »

Cette mise en situation leur a permis d’ analyser la vidéo « bougie » de manière assez  étayée, en questionnant leur propre posture de maître, dans le cadre de  la situation  évoquée par le film, tout en se référant à la situation d’investigation qu’ils venaient de vivre en tant que « formé » ; chaque enseignant s’est ainsi projeté à partir de la question :« et moi, dans cette situation d’enseignement, quels auraient pu être  mes objectifs d’apprentissage en sciences et/ou en mathématiques et comment aurais je choisi de guider mes élèves ? »
« La situation de la bougie est vraiment bien choisie comme point de départ, on voit bien qu’elle n’est pas traitée du point de vue de la combustion mais elle est le point de départ de la démarche d’investigation, l’occasion d’une expérimentation et de plus elle permet tout un travail sur les maths…je vois bien aussi maintenant tout ce que je pourrai travailler avec mes élèves sur les conditions d’expérimentation liées à la mesure… »