Questions to the experts

C'est une question (difficile!) liée à la définition de gauche-droite. Si vous considérez la montre au lieu de la main gauche, elle se comporte comme la tête: pour vous: dans le miroir, la tête reste en haut et la montre reste à gauche. Si au lieu de parler de main gauche et de main droite, vous parliez main vers l'est et vers l'ouest, vous n'auriez pas ce problème.
Quand vous parlez de la main gauche de votre image, vous définissez la gauche, non dans l'absolu, mais par rapport à l'avant du corps et à la tête. C'est en fait la notion d'avant-arrière qui est symétrisée dans le miroir (quand vous avancez vers le miroir, votre image se déplace dans le sens inverse de votre mouvement et vient à votre rencontre) alors que la tête reste en haut. Comme vous définissez la gauche par rapport à l'avant (la direction dans laquelle vous regardez et qui s'inverse dans le miroir) et la tête (qui ne change pas), vous inversez la position de la gauche. Imaginez maintenant que vous soyez debout sur le miroir qui est à plat sur le sol: le résultat est le même, vous n'inversez plus avant-arrière mais haut-bas, ce qui met la tête en bas, et inverse quand même la notion de gauche-droite, car... avant-arrière n'est plus inversé.
Cela n'est pas sans rappeler le problème du matelas que l'on veut retourner en permutant haut-bas, gauche-droite et dessus-dessous: c'est impossible... sauf en passant dans le miroir !

La vraie réponse, au fond, est : parce que nous sommes incapables d'imaginer les gens marchant la tête en bas. Je m'explique.
D'abord, le rôle de l'optique dans cette question se réduit à ceci : un miroir effectue une symétrie par rapport à un plan.

Maintenant, considérez les deux schémas que voici, qui sont images l'un de l'autre dans un miroir (paire numéro 1), et imaginez par exemple que les lettres R, V, J, B désignent des points de couleurs rouge, verte, jaune et bleue :

R V V R
J B B J

si vous arrivez dans cette situation à vous imaginer que le vert de la première image "correspond" au vert de la seconde et le jaune de la première au jaune de la seconde, alors il faut constater que le bleu et le rouge ont été intervertis. Maintenant, imaginez-vous au contraire que le rouge de la première correspond au rouge de la seconde et le bleu de la première au bleu de la seconde, alors ce sont le jaune et le vert qui ont été intervertis.

Exactement la même constatation pour la paire 2 :
R V ...... J B
J B ...... R V
(bien entendu, les deux images de gauche dans les deux exemples sont identiques et de même orientation, les deux images de droite sont identiques mais l'une est tournée de 180° par rapport à l'autre).

Maintenant, considérez la paire 3
.R........R
J.V......V.J
.B........B

puis la paire 4
.R........B
J.V......J.V
.B........R
n'a-t-on pas l'impression que "de toute évidence" dans la paire 3 ce sont la droite et la gauche qui ont été inversées alors que dans la paire 4 ce sont le haut et le bas, et du coup il est mentalement très difficile de s'imaginer que dans la paire 3 le vert correspond au jaune et dans la paire 4, le rouge au bleu ? Pourtant les relations géométriques entre 1 et 2 sont strictement les mêmes qu'entre 3 et 4 (dans la paire 1, on a bien aussi inversé la droite et la gauche et dans la paire 2, le haut et le bas). Ceci pour indiquer que notre esprit, et non pas la géométrie, accorde aux notions de "haut", "bas", "droit", "gauche" un statut qui n'est pas dans la nature, mais dans notre représentation.

Pour nous rapprocher de votre question, cette "évidence" que le haut reste en haut vient de notre représentation mentale qui postule que ce qui est en haut ne peut pas devenir le bas et elle est beaucoup plus forte que notre exigence mentale que la droite reste à droite et la gauche à gauche. Il s'agit de la façon de voir le monde que nous nous sommes construite depuis notre enfance. Dernier exemple : imaginez-vous en train de vous regarder dans un miroir posé horizontalement sur le sol. Objectivement, votre image dans le miroir a la tête plus bas que les pieds. Levez la main droite : l'image lève la main gauche. Maintenant, faites l'effort inhabituel de vous dire "mais enfin, non, cette image a les pieds en haut et la tête en bas" et levez la main droite, cette fois en considérant les pieds comme "en haut", c'est bien la main droite qui se lève.

Bref, le haut et le bas ne sont pas inversés dans un miroir parce qu'il nous est très difficile de nous les imaginer inversés. L'origine de cet effet est à rechercher dans le fait qu'il n'y a rien qui ressemble autant à une main droite que l'image dans un miroir d'une main gauche alors que l'image d'une tête dans un miroir ressemble fort peu à des pieds.

Contrairement à ce qu'on dit souvent, avec un miroir plan vertical, il n'y a pas plus d'inversion gauche/droite que d'inversion haut/bas, mais il y a inversion avant/arrière !
L' image donnée par un miroir est symétrique par rapport au plan du miroir.

Si un observateur se regarde de profil dans un miroir, sur l'image le ventre et le dos sont toujours du même coté comme le sont les pieds et la tête. Se mettre de face ne change rien, les images de ses mains gauche et droite restent respectivement en face de la main correspondante.
L'image est dans un "autre monde" où les conventions d'orientation dans l'espace sont inversées. Dire qu'il y a une inversion gauche/droite revient à attribuer à l'image les conventions habituelles de notre monde.

Et si le miroir est horizontal...

Le problème posé est un problème mathématique plus qu'optique. En optique géométrique, tout est dit avec la propagation rectiligne avant et après la réflexion, et la loi de Descartes i = r (rayons incident et réfléchi sont dans un même plan perpendiculaire au miroir, et l'angle du rayon incident avec la normale au miroir est égal à l'angle de la normale au miroir avec le rayon réfléchi).

De ces axiomes résulte que tous les rayons issus d'un même point source proviennent, après réflexion sur le miroir, du point image symétrique du point source par rapport au miroir. Un miroir plan est donc un système stigmatique qui donne d'un objet une image symétrique de l'objet par rapport à un plan.

La droite et la gauche ne sont pas plus changées dans cette image que le haut et le bas : votre main droite est face à son image, votre main gauche face à la sienne, le haut est en haut et le bas en bas. Mais l'image est virtuelle et n'est pas superposable à l'objet si celui-ci ne possède pas de symétrie par rapport à un plan. C'est ainsi et l'on n'y peut rien.

Si le haut et le bas étaient échangés, l'image et l'objet seraient identiques et donc superposables; il ne s'agirait plus d'une symétrie par rapport à un plan, mais d'une symétrie par rapport à un point. C'est, avec un stigmatisme approché, la symétrie d'un objectif de grandissement unité.