Questions to the experts

Sur les trois paramètres proposés, deux sont liés, le temps de révolution autour du Soleil et la distance au Soleil, le troisième, la période de rotation est indépendant.
C'est l'astronome allemand Johannes Kepler (1571-1630) qui proposa la relation entre le rayon R de l'orbite et la durée T de la révolution autour du soleil : la période T au carré est proportionnelle au rayon de l'orbite R élevé à la puissance 3. Ce résultat fut établi rigoureusement par Isaac Newton (1642-1727) en utilisant les lois de la mécanique et la théorie de la gravitation universelle.

La période de rotation de chaque planète n'a aucune relation avec les caractéristiques orbitales comme T et R, mais dépend de toute l'histoire de la planète depuis sa naissance, des interactions avec ses satellites et de l'importance des marées qu'elle subit de la part du Soleil. Mercure, proche du Soleil, a une période de rotation de 59 jours terrestres, pas très différente de sa révolution qui est de 88 jours. Cette période s'allongera jusqu'à coïncider avec la révolution. Mercure présentera alors toujours la même face au Soleil, comme la Lune avec la Terre

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Oui, il existe un rapport entre les deux dernières quantités ! Elles sont liées par la fameuse troisième loi de Kepler (un astronome du 17e siècle) qui stipule que le rapport entre le cube du rayon de l'orbite de la planète (si on la suppose circulaire ; en réalité elle est légèrement elliptique et on prend alors le cube du demi grand axe de l'orbite) et le carré de la période de révolution autour du Soleil est une constante qui ne dépend pas de la planète.

Prenons un exemple numérique. Unité : année pour les périodes et unité astronomique pour les distances (1 ua = 149,5 millions de km, distance de la Terre au Soleil). Dans ce système d'unité, la Terre est située à 1 ua et a une période de 1 an ; cube de la distance/carré de la période = 1 (dans les bonnes unités). Prenons maintenant Jupiter. Sa distance au Soleil est de 5,201 ua et sa période de 11,86 ans ; cube de la distance/carré de la période = 1 (avec une bonne précision).
On pourrait recommencer avec les autres planètes, ou changer les unités (prendre par exemple les millions de km et les ans), toutes les planètes donneraient le même résultat. La vitesse de révolution dont vous parlez est liée bien sûr au rayon de l'orbite et à la période : vitesse = 2*pi*rayon/période. On peut donc réécrire la 3e loi de Kepler en terme de vitesse orbitale si on le souhaite.

Quant à la vitesse de rotation de la planète sur elle-même, elle n'est pas liée aux autres quantités. Elle dépend des conditions qui ont prévalues au moment de la formation de la planète, difficiles à préciser maintenant.

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Excellente observation de vos élèves! La vitesse de rotation n'a pas de lien direct avec la distance des planètes au Soleil, mais sinon ils ont effectivement redécouvert la troisième loi de Kepler qui dit que la période de rotation d'une planète est liée à sa distance moyenne au soleil. La formule exacte dit que le carré de la période de révolution ("l'année planétaire") est proportionnelle au cube du demi-grand axe de l'ellipse orbitale (c'est ce que j'appelle la distance moyenne. Dans le cas extreme où l'ellipse est un cercle, ce qui est presque vrai pour la Terre, le demi-grand axe est en fait le rayon du cercle). Il y a quelques constantes qui rentrent dans ce calcul, en particulier la constante gravitationnelle de Newton (c'est lui qui donnera l'explication physique des trois lois qu'avait decouvert Kepler) et la masse des deux objets (le soleil et la planete). Dans la pratique, la masse de l'objet ne compte pas car elle est negligeable devant celle du Soleil et donc vous pouvez retrouver la duree de l'annee de chaque planète par rapport à celle de la Terre :

(Periode planète/Période terre)2 = (distance planète/distance Terre)3

Ensuite connaissant la distance Terre-Soleil et la durée d'un tour terrestre, vous pouvez retrouver la vitesse de révolution de la planète. A vos calculettes!

Il y a effectivement des liens entre ces différentes données.
Il convient d'abord de bien définir ces périodes de révolutions.
On distingue :
La révolution sidérale de la planète : c'est le temps mis par la planète pour faire une révolution de 360° autour du Soleil par rapport à une direction fixe.
La rotation sidérale de la planète : c'est le temps mis par la planète pour faire une révolution sur elle-même par rapport à une direction fixe.
La durée du jour (jour planétaire) : c'est la durée mise par la planète pour faire une révolution sur elle-même par rapport au Soleil.
Remarque : le mot jour présente, en français, lorsqu'il s'applique à une durée, une ambiguïté : tantôt il concerne le temps où il fait clair en un lieu donné, il s'oppose alors à la notion de nuit ; tantôt il concerne une durée de 24 h représentant alors un jour de la définition précédente plus une nuit. On nomme nycthémère cette période de 24 h.

Comme les planètes tournent autour du Soleil, le jour planétaire et la rotation sidérale sont toujours différents.
Pour la Terre la rotation sidérale est de 23 h 56 m 4 s et le jour terrestre est de 24 h.
Les périodes de révolutions sidérales et les distances au Soleil sont liées entres elles par la troisième loi de Kepler : le rapport du cube des demi-grands axes des orbites elliptiques des planètes sur le carré des périodes de révolutions sidérales est constant pour toutes les planètes du système solaire.

La durée du jour planétaire est la combinaison de sa rotation sidérale et de sa révolution sidérale. Ce calcul est relativement simple : l'inverse du jour planétaire est égal à la différence des inverses de la rotation sidérale et de la révolution sidérale.
Par exemple pour la Terre :
la rotation sidérale de la Terre est égale à 23 h 56 m 4,1 s = 23,934 472 06 heures soit 0,997 269 669 1 jour. La révolution sidérale est égale à 365,256 jours.
1/0,9972696691 1/365,256 = 1 jour = 24h.
En réalité pour la Terre on a fait un calcul inverse, on a fixé la durée du jour moyen terrestre à 24h et on en a déduit la durée de la rotation sidérale.

Il y a pour la planète Mercure une relation entre sa rotation sidérale et sa révolution sidérale : sa rotation sidérale de 58,646 jours est égale au deux tiers de sa révolution sidérale de 87,969 jours. C'est un cas unique pour les planètes. Il est dû aux forts effets de marées du Soleil sur la planète.